这篇记录实际项目中对Quaternion.FromToRotation(fromVector, toVector) 的实现思路，重点讨论当 fromVector 与 toVector 夹角为 180°（反向）时的稳健处理。主要参考 Stan Melax 的“最短弧四元数”（Shortest Arc Quaternion）思路。

为什么写这篇

项目里经常需要“把一个方向 A 旋到方向 B”。FromToRotation 正是把两个方向向量之间的旋转表示为一个四元数。但当两向量反向时，旋转轴不唯一（无穷多条），稍有不慎就会出现数值不稳、抖动或 NaN。本篇给出一个实际可用的方案。

数学基础（最短弧）

  • 设单位向量 \(u = \frac{from}{\|from\|}\), \(v = \frac{to}{\|to\|}\)；点积 \(d = u\cdot v\in[-1,1]\)。
  • 若 \(d\) 接近 1（方向相同），返回单位四元数即可（无需旋转）。
  • 若 \(d\) 接近 -1（方向相反，180°），最短弧旋转角为 \(\pi\)，但轴任意，只需选一条与 \(u\) 不共线的轴。
  • 否则，可用“最短弧四元数”构造式：
    • 轴方向近似为 \(u\times v\)
    • 或直接使用稳健公式构造四元数：
      • \(s = \sqrt{2(1+d)}\)
      • 四元数 \(q = [\frac{u\times v}{s},\ \frac{s}{2}]\)（向量在前，标量在后，或按你引擎的约定）。

上述构造规避了直接求角度带来的精度与分支问题，是工业界常用写法。

特例：两向量夹角180°，如何选轴

  • 当 \(d \approx -1\) 时，\(u\times v\) 退化为零向量，轴不再可用。此时选一个与 \(u\) 不近似平行的参考向量 \(a\)（如 right(1,0,0) 或 up(0,1,0)），令 \(axis = \mathrm{normalize}(u\times a)\)。
  • 若恰好 \(u\) 与 right 共线，再换 up（或 forward）。
  • 最终四元数可由 \(\theta=\pi\) 与该 axis 用 AngleAxis(180°, axis) 构造。

参考实现（C#，Unity 风格）

Quaternion FromToRotation(Vector3 from, Vector3 to)
{
    Vector3 u = from.normalized;
    Vector3 v = to.normalized;
    float dot = Vector3.Dot(u, v);

    if (dot > 1.0f - 1e-6f)
        return Quaternion.identity;

    if (dot < -1.0f + 1e-6f)
    {
        Vector3 refAxis = Mathf.Abs(u.x) < 0.9f ? Vector3.right : Vector3.up;
        Vector3 axis = Vector3.Normalize(Vector3.Cross(u, refAxis));
        return Quaternion.AngleAxis(180.0f, axis);
    }

    Vector3 c = Vector3.Cross(u, v);
    float s = Mathf.Sqrt((1.0f + dot) * 2.0f);
    float invS = 1.0f / s;
    return new Quaternion(c.x * invS, c.y * invS, c.z * invS, s * 0.5f);
}